Бархан и бурхан

Бархан и бурхан - это родственные слова?

(из письма)

Нет, не родственные. Бархан - несколько искаженное казахское барған "идущий." Имеется в виду способность барханов двигаться под действием ветра.

А вот бурхан (если кто не в курсе, согласно Далю: калмыцкий, монгольский идол, большей частью литый из меди или серебра) - это намного более интересная история. В русский это слово пришло из одного из монгольских языков, скорее всего, калмыцкого или бурятского. Но оно не монгольское, монголы заимствовали это слово у тюрок - средневековых уйгур. Оно встречается в уйгурских текстах Восточного Туркестана XIII-XIV веков (Тугушева 2001), хотя на самом деле оно, скорее всего, намного древнее. По уйгурски bur-qan - "хан Бур." Если с ханом все понятно, то кто такой Бур? - Это уменьшительное китайское fú-r от  fú "Будда," от санскритского buddha "просветленный." Учитывая, что Будда хоть и не являлся богом, но во многом исполняет его функции, китайское fú-r означает нечто типа "божок." Ну, а дальше развитие достаточно очевидно.